Wer dieses Rätsel lösen kann, ist ein Stern am Mathe-Himmel

Von 4. April 2020 Aktualisiert: 2. April 2020 17:36
Die Schüler der 10. Klassen sitzen trotz – oder gerade wegen – der Corona-Krise an der Prüfungsvorbereitung. Das heutige Rätsel basiert auf einer Aufgabe aus den Abschlussprüfungen 2013 und ist ein echter Griff nach den Sternen. Wer auch den zweiten Teil des Rätsels lösen kann, darf sein Mathe-Abi bedenkenlos behalten.

Es soll auch in den Ferien Schüler geben, die etwas für die Schule lernen. Gerade kurz vor den Prüfungen steht auch Mathematik auf dem Lehrplan und – ob sie wollen oder nicht – erinnern Kinder ihre Eltern an die eigene Schulzeit. Wer den ersten Teil dieses Rätsels löst, braucht sich um seine (ausstehende) Mathe-Prüfung nicht zu sorgen – und wer auch den zweiten Teil des Rätsels lösen kann, darf sein Mathe-Abi bedenkenlos behalten.

Geometrie und Gleichungssysteme … Wie war das noch gleich?

Vor sieben Jahren griff eine Prüfungsaufgabe der 10. Klasse in Sachsen sprichwörtlich nach den Sternen. Die Aufgabe lautete: „Tragen Sie die Zahlen 1, 3, 5, 7 und 9 so in die leeren Kreise ein, dass die vier Zahlen auf jeder Geraden die Summe 38 ergeben.“

Testen Sie Ihre eigenen Mathe-Kenntnisse und überlegen Sie sich erst eine eigene Lösung. Zumindest einen Lösungsweg sollten Sie wissen, bevor Sie weiterlesen.

Der Stern in diesem Rätsel ist nichts anderes als das geometrische Gerüst eines Gleichungssystems. In der Mathe-Prüfung 2013 mussten die Schüler diese Gleichungen erkennen und lösen. Nun liegt es an Ihnen.

Fünf Gleichungen, fünf Unbekannte, eine Lösung

In der Aufgabe heißt es, die Summe jeder Geraden ergibt 38. Mit anderen Worten: zwei Bekannte und zwei Unbekannte ergeben immer 38. Obwohl die farbigen Kreise hübsch aussehen, sind sie doch unpraktisch zum Rechnen. Der erste Schritt besteht also darin, die Kreise zu vereinfachen und danach das Gleichungssystem aufzuschreiben.

Aus fünf Geraden ergeben sich fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten damit ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar:

Durch Umstellen erhalten Sie im nächsten Schritt:

Ab hier gibt es grundsätzlich zwei Lösungswege. Sie haben bestimmt noch den folgenden Satz Ihres Mathelehrers im Ohr: „Was nicht da steht, kann ich nicht bewerten.“ Aus diesem Grund ist es immer ratsam, wenig im Kopf zu rechnen und stets jeden Schritt aufzuschreiben.

Durch weiteres Umformen und Einsetzen lässt sich das Gleichungssystem auf eine Gleichung mit einer Unbekannten reduzieren. Mit dieser Lösung können rückwärts alle anderen Unbekannten bestimmt werden. Da wir nicht in der Schule sind, überlassen wir dies den Jüngeren und versuchen das Ganze logisch zu lösen. Im Idealfall erhalten dennoch alle dieselbe Lösung.

Etwas Logik im Haus erspart den Rechenweg

Ohne den üblichen Rechen- und Schreibaufwand benötigt der logisch vorgehende Rätselfreund eine oder zwei Gleichungen, die außergewöhnlich sind. Während die Gleichungen (I) bis (III) mit mehreren Zahlen-Kombinationen gelöst werden können, gibt es für (IV) und (V) jeweils nur eine Kombination.

Um mit zwei einstelligen ungeraden Zahlen die Summe 14 zu schreiben, kommen nur 9 und 5 infrage, sodass E und D entweder 9 oder 5 sind. Gleichung (V) besagt zudem, dass E kleiner als 6 sein muss und daraus folgt E < D also E = 5 und demzufolge D = 9.

Ein Blick auf die weiteren Gleichungen verrät der Reihe nach die anderen Lösungen: Aus (V) ergibt sich A = 1. Dann zeigt (I), dass B = 7 ist und schließlich aus (II) oder (III) C = 3. Die Lösung auf einem Blick sieht dann wie folgt aus:

Mal ehrlich, das war einfach, oder? Damit es nicht langweilig wird, haben wir einen Mathelehrer gebeten, das ganze etwas auf die Spitze zu treiben. Nach zwei Tagen, einigen Skizzen und einem speziell für diesen Zweck geschriebenen Programm, um alle Lösungen zu berechnen, sind nicht eine, sondern gleich vier Aufgaben entstanden.

Das Rätsel auf die Spitze treiben

Unser Mathelehrer hat die Aufgabe ziemlich wörtlich genommen und kurzerhand alle Zahlen in den Spitzen ausradiert. Die Aufgabe „Tragen Sie die Zahlen 1 bis 10 so ein, dass die Summer jeder Geraden 38 ergibt“ ist jedoch nicht lösbar. Das wäre dann auch für das Mathe-Abitur ungeeignet.

Eine kleine Änderung erlaubt jedoch eine eindeutige Lösung. Statt einer zentralen Summe für alle Geraden gibt es nun fünf verschiedene Summen:

Die Aufgaben für Ihre Nachprüfung lauten:

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a) Tragen Sie in die Kreise a bis j die Zahlen von 1 bis 10 so ein, dass sich entlang der Linien die vorgegebenen Summen ergeben!

b) Lösen Sie die Aufgabe unter a) für die Summen 20; 21; 22; 23; 24!

c) Hängt die Anzahl der Lösungsmöglichkeiten bei b) von der Reihenfolge der Summen ab?

d) Und jetzt noch für den Fall, dass alle Summen 22 sind!

Nehmen Sie sich etwas Zeit, Stift und Papier, fühlen Sie sich in Ihre Schulzeit zurückversetzt und lösen Sie die Aufgaben. Wie in der Schule baut eine Aufgabe auf der anderen auf; dennoch gilt, sollten Sie eine Aufgabe nicht lösen können, probieren Sie die nächste.

Unlösbare Gleichungssysteme eindeutig lösen

Ähnlich wie in der ersten Aufgabe ergeben sich aus den Geraden fünf Gleichungen. Diese weisen hier jedoch insgesamt zehn Unbekannte auf. Dadurch rückt eine eindeutige Lösung durch Umformen und Einsetzen in weite Ferne – bleibt also nur die logische Antwort.

Dabei brauchen wir wiederum zwei Gleichungen, die etwas Besonderes sind. Da die einzusetzenden Zahlen vorgegeben sind, ist es möglich, die größte und kleinste mögliche Geradensumme zu ermitteln 1 + 2 + 3 + 4 ergibt 10 und 10 + 9 + 8 + 7 addiert sich zu 34. Die besonderen Gleichungen sind – auch in diesem Fall – die mit der größten (V) und kleinsten Summe (I).

Gleichung (V) ist nur lösbar mit den Zahlen 10; 9; 8 und 6. Da sich die Gleichungen (I) und (V) in a scheiden, muss a = 6 sein. Alle anderen Zahlen würden die Summe 13 unmöglich machen. Daraus folgt 13 = 6 + 4 + 2 + 1.

Um mit den übrigen Zahlen die Summe 25 nicht zu überschreiten, muss man 4; 5; 7 und 9 verwenden. Mit ein bisschen Überlegung kommt man auf h = 4 (einzige Überschneidung der Summen 13 und 25); e = 9 (Überschneidung 25 und 33) sowie d = 5, denn andernfalls wird die Summe 17 unmöglich. Daraus folgt f = 7.

Für die Summe 17 muss j = 1; c = 3 und g = 8 sein. Schließlich bleiben b = 2 und i = 10 übrig. Et voilà, hier ist die Lösung. Und für alle Zweifler: Ja, es ist die einzige Lösung, zumindest für diese Aufgabenstellung.

(K)eine Lösung reicht nicht aus

Für Aufgabe 2b) gibt es nicht nur eine Lösung, sondern 184. Da hilft dann auch die Logik nicht viel weiter, wer nicht zufälligerweise eine einfache Lösung (wie die unten stehende findet), steht vor einem echten Rätsel. Es gibt jedoch einen Weg, der zuverlässig funktioniert und uns damit gleich die Antwort für c) liefert.

Um die Lösung unter 2b) zu berechnen, helfen zwei Formeln. Von der Summe s nach außen in die Spitze gilt stets: Spitzenwert = 30 – Summe. Ebenso gilt für den Wert nach innen durch das Fünfeck: Schnittwert = 25 – Summe. Beispielsweise für die blaue 21 muss außen eine 9 stehen (30 – 21 = 9) und innen eine 4 (25 – 21 = 4).

Dieser Lösungsansatz funktioniert immer, egal in welcher Reihenfolge die Summen stehen. Damit ergibt sich, dass die Anzahl der Lösungen immer gleich bleibt, sodass es bei jeder beliebigen Reihenfolge der Summen 20; 21; 22; 23, 24 jeweils 184 Lösungen gibt. Das zu überprüfen hat aber auch unser Mathelehrer nicht selbst übernommen und es stattdessen einem Computer überlassen.

Und bevor Sie an Aufgabe d) verzweifeln, weil Sie keine Lösungen finden, sei Ihnen gesagt: „Sie haben bestanden“, denn für diese Aufgabe gibt es keine Lösung. – Wenn Sie doch eine finden, haben Sie sich höchstwahrscheinlich verrechnet …