Archimedes weiß die Lösung: Welches Glas enthält das meiste Wasser?

Von 14. März 2020 Aktualisiert: 14. März 2020 12:57
Heureka! Dieses Rätsel hat eine lange Geschichte und Archimedes hat es in einer Badewanne gelöst. Können Sie trockenen Fußes sagen, welches Glas das meiste Wasser enthält? – Und welches Glas das schwerste ist?

Diese Illustration mit vier Gläsern voller Wasser und vier verschiedenen festen Objekten löst im Internet Verwirrung aus. Dabei ist das Rätsel denkbar einfach – zumindest der erste Teil. Die Frage ist folgende: Welches Glas enthält das meiste Wasser?

Jedes Glas ist gleich groß, jedes ist bis zum Rand mit Wasser gefüllt und jedes enthält einen anderen Gegenstand. Glas A enthält einen Tennisball, Glas B einen Radiergummi, Glas C eine Büroklammer und Glas D einen roten Textmarker.

Bevor wir Ihnen die Lösung verraten, nehmen Sie sich 30 Sekunden Zeit und versuchen Sie, selbst zu einem Ergebnis zukommen. Menschen mit einem guten Vorstellungsvermögen haben hier vielleicht einen kleinen Vorteil, da sie das Objekt gedanklich aus dem Wasser nehmen können. Die im Glas verbleibende Wassermenge hilft Ihnen mitunter, die richtige Lösung zu bestimmen.

Welches Glas enthält das meiste Wasser?

Auch der wissenschaftliche Hintergrund – das Prinzip von Wasserverdrängung und Auftrieb – kann die Lösung einfacher machen. Die Physik besagt: wenn ein Objekt in Wasser eingetaucht wird, verdrängt das Volumen des Objekts ein gleich großes Volumen Flüssigkeit.

Wenn die Gläser also alle gleich groß sind und der Wasserstand in jedem Glas gleich zu Beginn des Experiments gleich war, dann enthält das Glas mit dem kleinsten Gegenstand, das größte Wasservolumen.

Von den vier festen Objekten hat natürlich die Büroklammer das kleinste Volumen. Daher verdrängt sie die geringste Wassermenge und Glas C enthält das meiste Wasser. Das war einfach, oder? Ganz im Sinne Archimedes‘ wird es jetzt etwas schwieriger…

Archimedes‘ Rätsel um die goldene Krone

Der griechische Mathematiker Archimedes von Syrakus (* um 287 v. Chr. † 212 v. Chr.) wurde seiner Zeit von König Hierons II. gebeten, die Echtheit seiner Krone zu prüfen. Hierons II. wollte wissen, ob sein Goldschmied ihn betrogen hat und der angeblich goldenen Krone billiges Silber untergemischt hat.

Irgendwie musste Archimedes ins Innere der Krone schauen, er durfte die Krone jedoch nicht beschädigen, auch nicht, um eine kleine Probe zu nehmen. Eines Tages badete der Mathematiker und bemerkte, je weiter er ins Wasser stieg, desto mehr Wasser schwappte über den Rand. Heureka! Aus der Änderung des Wasserspiegels konnte er schließlich sein Volumen und später das der Krone berechnen.

Mit dem Wissen über Volumen und Gewicht der Krone konnte Archimedes die Dichte des Metalls ermitteln und mit der reinen Goldes vergleichen. Das Ergebnis war eindeutig – und enttäuschend für den König: Die Krone bestand nicht aus reinem Gold.

Ob zur Messung des Reichtums für das Königtum, als Teil einer wissenschaftlichen Schulaufgabe oder zur Lösung einer viralen Denksportaufgabe: Das Prinzip der  Wasserverdrängung ist seit Jahrhunderten bekannt. In diesem Sinne lautet die zweite Frage dieses Rätsels:

Welches Glas ist das schwerste?

Um diese Frage zu beantworten, müssen auch wir uns mit der Dichte der Objekte und ihrem Auftrieb beschäftigen. Das Archimedische Prinzip besagt:

Der statische Auftrieb eines Körpers in einem Medium ist genauso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums.“

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Mit anderen Worten, ein Schiff taucht nur so tief ins Wasser ein, bis die Masse des verdrängten Wassers der Masse des Schiffes entspricht. Da ein Schiffsrumpf viel Luft enthält, ist seine mittlere Dichte kleiner als die des Wassers und das Schiff schwimmt.

Für unser Rätsel bedeutet das, solange ein Objekt schwimmt, verändert sich die Masse des Glases nicht, wenn das Objekt eintaucht. Die eigentliche Frage laute also: Welche(s) Objekt(e) schwimmen nicht?

Der Tennisball besteht aus einer mit Filz ummantelten Gummiblase und enthält viel Luft. Seine Schwimmfähigkeit steht außer Frage. Ähnliche verhält es sich mit dem Textmarker. Je später in seiner „Karriere“, desto mehr Luft enthält er, aber auch, frisch aus der Fabrik schwimmt er.

Schwieriger ist die Frage, ob ein Radiergummi schwimmt. Ein kurzer Test mit den Büroutensilien zeigt jedoch, der geht unter. Und die Büroklammer? Aus Stahl gefertigt, müsste sie untergehen. Wird die Büroklammer jedoch vorsichtig auf die Wasseroberfläche gelegt, hindert die Oberflächenspannung sie am Untergang.

Dann gilt auch für sie das archimedische Prinzip und – Heureka! – der Radiergummi sinkt als einziges zu Boden. Das Glas mit dem Radiergummi ist am schwersten.

Wirklich? Was ist, wenn die Büroklammer einfach ins Wasser geworfen wird und auch untergeht?

Und wenn die Büroklammer auch untergeht?

Für den Fall, dass sowohl Radiergummi als auch Büroklammer zu Boden sinken, müssen wir Archimedes um Rat fragen. Angenommen der Radiergummi ist 0,75 Zentimeter hoch, 1,9 Zentimeter breit und 5 Zentimeter lang, verdrängt er 7,125 Kubikzentimeter Wasser. Und ja, wir haben nachgemessen.

Bei einem Gewicht von etwa 10 Gramm beträgt seine Dichte etwa 1,4 Gramm je Kubikzentimeter. Jeder Kubikzentimeter Radiergummi macht das Glas also um 0,4 Gramm schwerer. Der ganze Radiergummi schlägt mit zusätzlichen knapp drei Gramm zu Buche.

Die Dichte von Eisen ist mit 7,9 g/cm³ deutlich größer, doch das Volumen der Büroklammer ist erheblich kleiner. Angenommen das Volumen der Büroklammer misst einen Kubikzentimeter, dann würde jeder Kubikzentimeter versunkene Büroklammer knapp sieben Gramm addieren. Mit deutlich unter 0,1 Kubikzentimeter Eisen pro Büroklammer, bleibt auch in diesem Fall das Glas mit dem Radiergummi das schwerste.

Selbst mit einer sehr großen Büroklammer, deren Volumen etwa 0,3 cm³ beträgt, steigt das Gewicht nur um etwa zwei Gramm. Solange der Radiergummi also nicht wesentlich kleiner wird, bleibt Glas B das schwerste.

Einen sprachlichen Trick hat das Rätsel jedoch noch auf Lager. Solange keins der Gläser einen Produktionsfehler aufweist, sind alle Gläser gleich schwer. Nach der Masse von Glas, Wasser und Objekt zusammen hat nie jemand gefragt …