30 Sekunden Bruchrechnung: Sind Sie schlauer als Ihr Smartphone?

Von 14. Juni 2020 Aktualisiert: 11. Juni 2020 19:10
Ein halbes Pfund Äpfel, eine Sieben-Achtel-Hose oder vier halbe Hähnchen – gebrochene Zahlen umschwirren uns im Alltag wie Wespen den Kuchen. Können Sie die Mathe-Schallmauer durchbrechen und diese Bruchrechnung in unter 30 Sekunden lösen?

Bruchrechnung ist etwas, das viele Menschen „vor langer, langer Zeit“ in der Schule gelernt – und vergessen – haben. Obwohl sie uns im Alltag umgeben, erfordert das gezielte Lösen von Brüchen die ganze Aufmerksamkeit.  Und das ist gut so, denn auf diese Weise können Sie mit kleinen Aufgaben Ihre Konzentration trainieren.

Tägliches Rätseln und das regelmäßige Kopfrechnen sollen sogar den IQ um einige Punkte verbessern können. Nehmen Sie sich 30 Sekunden Zeit und versuchen Sie, diese Aufgabe zu lösen. Aber lassen Sie sich nicht täuschen. Die Bruchrechnung folgt manchmal ihren ganz eigenen Regeln.

Zur Erinnerung: Hier die Aufgabe

Wer jetzt bereits zum Smartphone gegriffen hat, den müssen wir leider enttäuschen. Die meisten Rechnen-Apps kommen schon lange vor der Bruchrechnung an ihre Grenzen. Manche Apps können noch nicht einmal die korrekte Rechenreihenfolge einhalten, sodass es besser ist, wenn Sie diese Aufgabe im Kopf oder mit Stift und Papier lösen. Nur selber denken macht schlau.

Bruchrechnung folgt eigenen Regeln

Ähnlich wie die Quantenmechanik oder Überschallphysik folgt die Bruchrechnung eigenen Regeln. Nichtsdestotrotz bleiben die Grundsätze der Mathematik erhalten und die Reihenfolge der Rechenoperationen muss eingehalten werden.

Da die Aufgabe keine Klammern enthält, muss mit der ranghöchsten Rechenoperation begonnen werden. Noch vor „Punkt- vor Strichrechnung“ gilt es daher, den Exponenten zu vereinfachen.

Aus 22 wird daher 4, die Aufgabe sieht jedoch immer noch unnötig kompliziert aus. Selbstverständlich gibt es Möglichkeiten, den Term weiter zu vereinfachen – und wenn man ehrlich ist – irgendwann … vor langer, langer Zeit … damals … als man jung war, hatte man schon mal etwas vom „Brüche vereinfachen und kürzen“ gehört.

Und jetzt? Als Nächstes folgt das Zusammenfassen und Vereinfachen. Grundlegend kann man jeden Bruch ohne Bruchstrich schreiben und die Reihenfolge der Berechnungen durch Klammern kenntlich machen. Mit Klammern sieht die Originalaufgabe deutlich weniger spektakulär aus: 5 – (( 0,5 + ( 1 : 6 )) : (( -5 + 22 ) : 3 )) Einfacher wird das Rechnen dadurch jedoch nicht.

Zudem sind Mathematiker von Haus aus faul und haben die Brüche zur besseren Übersichtlichkeit erfunden, sodass es besser ist, den Doppelbruch nach und nach auflösen, statt den Überblick auf einmal zu verlieren.

Der große Bruchstrich (grün) teilt die Aufgabe in eine obere („Zähler“, rot) und eine untere Hälfte („Nenner“, blau). Unter Beachtung der normalen Rechenregeln kann man diese relativ unabhängig betrachten und muss erst zum Schluss wieder zu der scheinbar komplexen Form des Doppelbruchs zurückkommen.

Differenzen und Summen kürzen nur die … (und die, die es können)

Analog der deutschen Sprache empfiehlt es sich, Doppelbrüche zunächst von oben nach unten anzugehen. Im Zähler steht immer noch eine Aufgabe, die viele einfache Taschenrechner überfordern kann.

Grundsätzlich gilt, Dezimalzahlen (mit Komma) und gebrochene Zahlen (mit Bruchstrich) kann man nicht ohne weiteres zusammenfassen, sodass man mindestens eine Zahl in die andere Form umwandeln muss. Zugunsten der Genauigkeit soll 0,5 umgewandelt werden.

Beim Addieren von Brüchen müssen wiederum die Nenner gleich sein. Durch Umformen und Erweitern (Zähler UND Nenner mit derselben Zahl multiplizieren) wird aus 0,5 zunächst 1/2 und schließlich 3/6.

3/6 + 1/6 = 4/6 und da sowohl 4 als auch 6 einen gemeinsamen Teiler haben, kann 4/6 noch auf 2/3 gekürzt werden.

Im Nenner ergibt -5 + 4 = -1 und -1/3 kann nicht weiter gekürzt werden.

Zu guter Letzt stehen nur noch vier Ziffern auf und unter dem Bruchstrich. Auch dafür gibt es Regeln, die das Vereinfachen vereinfachen. Entweder man ersetzt nun den grünen Bruchstrich durch ein Divisionszeichen und erhält (2/3) : (-1/3) oder man erinnert sich an die – bei weitem elegantere – Regel, wie Zähler und Nenner von Doppelbrüchen vertauscht werden dürfen.

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Diese Regel besagt, dass der Nenner des Zählers (dunkelrot) unter den Bruchstrich (grün) rutschen darf. Auf ähnliche Weise kann der Nenner des Nenners (hellblau) über den Bruchstrich aufsteigen. Die Zähler der einzeln Brüche bleiben jeweils dort wo sie sind und werden mit den bewegten Nennern multipliziert.

Wer mit wem bei diesem Spiel den Platz tauschen darf, ist zwingend einzuhalten. Da in diesem Fall beide Nenner 3 sind, müssen die Farben zur Unterscheidung reichen. Dasselbe Ergebnis erhält man übrigens bei der „weniger eleganten“ Lösung durch die Regel: Bei der Division von Brüchen ist der Reziprok (Kehrwert) zu multiplizieren: (2/3) : (-1/3) = (2/3) * (3/-1) = (2 * 3) / (3 * -1)

Und die Lösung lautet …

Ganz so schnell geht es nicht. Da es bei dieser vorletzten Teilaufgabe sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Produkt steht, kann man die drei einfach oben und unten wegkürzen. Darüber hinaus kann man das Minus aus dem Nenner herausziehen und vor den Bruch schreiben.

Übrig bleibt im Bruch 2/1 – in Worten „zwei Eintel“ – was nichts anders als 2 bedeutet. Schließlich gilt es zu beachten, das Minus und Minus Plus ergibt und so wird aus 5 – (-2) = 5 + 2 = 7

Et voilà. Den ganzen Aufwand für eine einfache Sieben … Jetzt dürfen Sie die Rechen-App befragen – aber verzweifeln Sie nicht, falls Sie besser rechnen können als Ihr Smartphone. Das Ergebnis ist tatsächlich Sieben.